Simmetrie

LE OTTO TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE FONDAMENTALI DEL PIANO

Una notevolissima associazione con le otto possibili terne binarie (ossia sequenze di 0 e 1 di lunghezza 3, che chiameremo trigrammi binari) è data dalle otto trasformazioni geometriche piane fondamentali, che sono tutte isometriche (cioè conservano la distanza) e si suddividono in quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni ( le prime invertono l'orientamento di una figura, le seconde lo mantengono, ossia sono degli spostamenti ). La maniera più naturale di determinare tele associazione è far scaturire dal generico punto del piano (x,y) il punto trasformato (x',y') secondo tre operazioni : cambiamento di segno al primo posto (ascissa), cambiamento di segno al secondo posto (ordinata), scambio dei due posti (ascissa con ordinata). Otteniamo pertanto la tabella (operiamo lo scambio dopo i cambiamenti di segno) :

scambio sinistra/destra	cambio di segno a sinistra	cambio di segno a destra	punto finale
0	0	0	( x , y )
0	0	1	( x , -y )
0	1	0	( -x , y )
0	1	1	( -x , -y )
1	0	0	( y , x )
1	0	1	( -y , x )
1	1	0	( y , -x )
1	1	1	( -y , -x )

Otteniamo pertanto le otto trasformazioni seguenti :

codice / trigramma / nome "I Ching"	formula	trasformazione	nome abbreviato
000 / ☷ / "terra"	(x,y) → (x,y)	identità	id
001 / ☶ / "monte"	(x,y) → (x,-y)	coniugazione	con
010 / ☵ / "acqua"	(x,y) → (-x,y)	anticoniugazione	-con
011 / ☴ / "vento"	(x,y) → (-x,-y)	opposizione (o antiidentità)	-id
100 / ☳ / "tuono"	(x,y) → (y,x)	inversione (o ortoconiugazione)	inv
101 / ☲ / "fuoco"	(x,y) → (-y,x)	ortogonalità antioraria	ort
110 / ☱ / "lago"	(x,y) → (y,-x)	ortogonalità oraria	-ort
111 / ☰ / "cielo"	(x,y) → (-y,-x)	antiinversione (o antiortoconiugazione)	-inv

Queste trasformazioni si ripartiscono in quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni

identità	rotazione di angolo nullo o di un angolo giro
coniugazione	simmetria rispetto all'asse delle ascisse (orizzontale)
anticoniugazione	simmetria rispetto all'asse delle ordinate (verticale)
opposizione	rotazione (oraia o antioraria) di un angolo piatto
inversione (ort dopo con, in simboli ort∘con)	simmetria rispetto alla bisettrice principale (del I e III quadrante)
ortogonalità antioraria	rotazione antioraria di un angolo retto
ortogonalità oraria	rotazione oraria di un angolo retto
antiinversione (-ort dopo con, in simboli -ort∘con)	simmetria rispetto alla bisettrice secondaria (del II e IV quadrante)

La disposizione geometrica dei punti terminali di tali trasformazioni fornisce il seguente grafico a croce :

puoi muovere :
il punto P ,
l'origine 0 ,
l'unità 1

Osserviamo che le trasformazioni avente per codice trigrammi binari con un numero dispari di 0 sono rotazioni, per cui non modificano l'orientamento di una figura o un verso di rotazione, mentre quelle di codice avente un numero dispari di 1 sono simmetrie assiali, che quindi invertono l'orientamento di una figura o un verso di rotazione. Mostreremo come sia possibile ricavare algebricamente le nozioni fondamentali della geometria euclidea del piano dalle precedenti otto trasformazioni (che, come è evidente, si possono ricavare tutte dalla coniugazione e dall'inversione, o da altre due scelte opportunamente fra le otto). Basterà mostrare come da queste discendano la metrica e la struttura delle isometrie piane. A meno di traslazioni, possiamo centrare sempre il nostro discorso nell'origine (ciò soltanto evita traslazioni di variabili indipendenti e dipendenti nelle formule).

SIMMETRIE ASSIALI CENTRALI

Sia R_m=R(m) la retta passante per l'origine e per il punto (1,m) - cioè sia m la pendenza di tale retta - e sia (a,b) un punto qualunque del piano. Ci proponiamo di determinare il punto (r,s) simmetrico di (a,b) rispetto a R_m . La situazione grafica è rappresentata dalla figura seguente :

puoi muovere :
il punto (a,b) ,
la pendenza m ,
l'origine 0 ,
l'unità 1

La retta R_m è costituita dai punti (x,y) verificanti l'equazione y = mx :

R_m = { (x,y) : y = mx } .

Poniamo la seguente definizione formale :
due punti P e Q sono simmetrici rispetto a una retta r se vengono verificate le seguenti due condizioni :

1) Il punto medio fra P e Q sia sulla retta r ;
2) La retta congiungente P e Q sia ortogonale a r .

Nel nostro caso le due condizioni diventano :

1) Il punto medio fra (r,s) e (a,b) sia sulla retta R_m ;
2) La retta congiungente (r,s) con (a,b) sia ortogonale a R_m .

Una simmetria assiale centrale è una simmetria rispetto ad una retta passante per l'origine (detta asse di simmetria), cioè la relazione che associa ad ogni punto del piano il suo simmetrico rispetto a tale retta.

Il punto medio fra (r,s) e (a,b) ha come ascissa la media aritmetica fra r e a, così come ha per ordinata la media aritmetica fra s e b. Pertanto la condizione 1) equivale alla seguente :

( (r+a)/2 , (s+b)/2 ) su r

ossia : (s+b)/2 = m (r+a)/2

ossia : (s+b) = m (r+a)

Otteniamo perciò che la condizione 1) si traduce nella equazione :
1*) s + b = mr + ma .

Passiamo alla condizione 2). Per esprimere la ortogonalità delle suddette rette, potremo utilizzare la rotazione di un quadrante in senso antiorario o orario (rispettivamente indicate con ort e -ort) se trasliamo il segmento congiungente i due punti simmetrici, in modo che (r,s) vada a finire nell'origine, e in tal caso il punto (a,b) viene traslato nella posizione (a-r,b-s), in modo che il punto N = ort (a-r,b-s) sia sulla retta R_m :

puoi muovere :
il punto (a,b) ,
la pendenza m ,
l'origine 0 ,
l'unità 1

Ricordando che ort agisce secondo la formula ort (x,y) = (-y,x), deduciamo : ( s-b , a-r ) su r
il che porta all'equazione :

2*) a - r = m ( s - b )

Le equazioni 1*) e 2*) costituiscono il sistema :

s + b = mr + ma

a - r = ms - mb

Considerando come dati a, b, m e considerando come incognite r e s, e pertanto risolvendo il sistema rispetto a queste due variabili, otteniamo le importanti formule di simmetria seguenti :

r = a (1- m²)/(1+m²) + b (2m)/(1+m²)

s = a (2m)/(1+m²) - b (1-m²)/(1+m²)

ossia : r = H_m a + K_m b , s = K_m a - H_m b

dove si è posto : H_m = (1-m²)/(1+m²) , K_m = 2m /(1+m²)

chiamiamo tali ultime due numeri (che dipendono esclusivamente dal numero m, che indica la pendenza della retta) coefficienti parametrici relativi alla retta R_m .

Ponendo a = 1 e b = 0 ricaviamo H_m = r e K_m = s , ossia deduciamo che il punto avente come ascissa e ordinata i coefficienti parametrici della retta è il simmetrico del punto unitario dell'asse delle ascisse (1,0) rispetto a R_m , cioè è il punto a distanza 1 dall'origine tale che la retta che lo congiunge all'origine forma con l'asse delle ascisse un angolo doppio di quello relativo alla retta stessa R_m rispetto all'asse delle ascisse :

puoi muovere :
la pendenza m ,
l'origine 0 ,
l'unità 1

La pendenza della retta passante per l'origine e per il punto (H_m , K_m) , nel caso in cui sia H_m ≠ 0 (e quindi se m ≠ ±1), è K_m/H_m , ossia 2m / (1-m²). Otteniamo pertanto una formula di duplicazione per la pendenza, la quale partendo da un valore m ≠ ±1 fornisce la pendenza d(m) = 2m / (1-m²) della retta passante per l'origine e formante col semiasse positivo delle ascisse un angolo doppio rispetto a quello relativo alla retta di pendenza m. L'asse delle ordinate ovviamente non ha pendenza (non avendo nessun punto di ascissa unitaria), ma gli si associa convenzionalmente una pendenza infinita m = ∞ . Siccome la simmetria rispetto a tale asse, che abbiamo chiamato coniugazione opposta, è data, come visto, dalla formula -con (x,y) = (-x,y), ossia, coi simboli usati per le formule di simmetria assiale, dalle equazioni :

r = a (-1) + b (0)

s = a (0) - b (-1)

siamo condotti a definire i coefficienti parametrici dell'asse delle ordinate nel modo seguente :
H_∞ = -1 , K_∞ = 0 .
Possiamo altresì porre d(±1)=∞ , per poter così definire l'operatore di duplicazione della pendenza anche per i valori ±1.